De fotonische vraatzucht van elektronen

Wat maakt een docent het gelukkigst: gratis koffie, studiemiddagen of goede vragen van leerlingen? Inderdaad: dat laatste. Onlangs kreeg ik een mail van een collega natuurkundedocent die een schitterende vraag had gekregen van een leerling. Zijn vraag was als volgt: als een foton wordt geabsorbeerd door een atoom (zeg, een waterstofatoom of een metaal zoals bij het foto-elektrisch effect), dan wordt de energie van het foton volledig geabsorbeerd. Maar bij het Compton-effect (waarbij een foton met een elektron ‘botst’) wordt slechts een deel van de energie van het foton opgenomen door het elektron waarna het foton weer vrolijk verder vliegt. Waarom is dat? En uiteraard de prangende vraag van de leerling: hoe moeten we op het examen weten wanneer de energie wél, en wanneer de energie niet volledig wordt geabsorbeerd? Een schitterende vraag die natuurkundedocenten beter hadden kunnen beantwoorden als behoud van impuls niet vakkundig uit het curriculum was gesloopt. In deze post gaan we dit antwoord vinden.

Een behouden vaart

Behoudswetten zijn enorm belangrijk in de natuurkunde. Ze vertellen ons wat wel en wat niet mogelijk is. Zo zou een proton in theorie uit elkaar kunnen vallen in twee lichtere deeltjes die we een neutraal pion en een positron noemen. De elektrische lading is hierbij behouden, en qua energie is dit ook mogelijk. Toch zien we het niet (tot frustratie van fysici die de wisselwerkingen in het standaardmodel proberen te unificeren; deze pogingen voorspellen vaak protonverval). Daarom hebben natuurkundigen een behoudswet geïntroduceerd, het behoud van “baryongetal”. Wat baryonen dan weer precies zijn brengt ons te ver weg van de essentie: we gebruiken behoudswetten om te verklaren welke processen wel en niet mogelijk zijn. Zo kan een foton bijvoorbeeld niet een elektron absorberen, omdat daarbij de lading van het elektron zou verdwijnen. Streng verboden in het standaardmodel! Maar andersom kan een elektron wel een foton absorberen, zoals in het beroemde foto-elektrische effect of wanneer waterstofgas licht absorbeert. Daarbij neemt het materiaal dus alle energie van het foton op, en ‘verdwijnt’ het foton als deeltje. Je ziet dus dat er niet zoiets is als “behoud van aantal deeltjes”: deeltjes kunnen verdwijnen en verschijnen, zolang ze maar voldoen aan alle behoudswetten.

Behoudswetten zoals behoud van energie en impuls. Dit behoud geldt zowel in de klassieke mechanica van Newton als in Einsteins relativiteitstheorie, hoewel de uitdrukkingen voor beide grootheden anders zijn. Die uitdrukkingen vind je bijvoorbeeld hier, https://en.wikipedia.org/wiki/Energy%E2%80%93momentum_relation. Dit zijn de behoudswetten waar we ons op zullen richten.

Compton

Nu is er ook een beroemd proces genaamd ‘Comptonverstrooiing’. Hierbij ‘botst’ een foton met een elektron en geeft het foton een deel van zijn energie af. Dit effect leverde Arthur Compton de Nobelprijs op, omdat het aantoont dat licht niet alleen een golf kan zijn: Compton kon de verstrooiing alleen verklaren als hij aannam dat licht uit ‘deeltjes’ bestaat die we nu ‘fotonen’ noemen. Dat onderbouwt het idee in de kwantummechanica dat kwantum’deeltjes’ niet simpelweg in de categorie ‘golf’ of ‘deeltje’ kunnen worden gestopt, maar dat we er een nieuwe categorie voor nodig hebben: ‘kwantumdeeltjes’ die zich als golf én deeltje gedragen.

Maar waarom neemt het elektron slechts een deel van de fotonenergie op? Wel, laten we net als wiskundigen een ‘bewijs uit het ongerijmde’ opstellen. We gaan aannemen dat bij Comptonverstrooiing een vrij elektron alle energie van het foton opneemt. En we bekijken voor het gemak de situatie waarbij het elektron aanvankelijk stilstaat (het ruststelsel van het elektron). De situatie vóór de wisselwerking noemen we 1, en de situatie ná de wisselwerking noemen we 2. Hierop gaan we behoud van energie en behoud van impuls loslaten. Dat doen we relativistisch, want het foton is massaloos en gaat dus altijd met de lichtsnelheid; veel relativistischer dan dat ga je het niet krijgen. Daarom moeten we ook de relativistische formule gebruiken die de energie E, impuls p en massa m van een deeltje relateert:

Einsteins energierelatie: $E = \sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4}$

Als een deeltje stilstaat (p=0), dan wordt deze formule Einsteins beroemde $E=mc^2$ . Nu wordt het tijd voor wat boekhouding.

Boekhouden voor gevorderden

Daar gaan we. Het elektron (e) staat eerst stil, dus geldt er $p_{e,1}=0$ . De totale energie van het elektron is daarom gelijk aan $E_{e,1}=mc^2$ (we hoeven de massa van het elektron niet te labelen, want een foton is immers massaloos; we snappen dat m de massa van het elektron is). Het foton ( $\gamma$ ) heeft een energie die gelijk is aan $E_{\gamma, 1}=p_{\gamma,1} \cdot c$ . Dit volgt uit Einsteins energierelatie met m = 0:

$E_{\gamma} = \sqrt{p^2 c^2 + 0} = \sqrt{p^2 c^2} = pc$ .

Nu kijken we naar behoud van impuls. Het elektron stond aanvankelijk stil, dus na de wisselwerking heeft het elektron volgens behoud van impuls de impuls van het foton meegekregen. De impuls van het foton is daarentegen verdwenen, en dus schrijft behoud van impuls voor dat

$p_{e,2} =p_{\gamma,1} =\frac{E_{\gamma,1}}{c}$

Dat relateert de impuls van het elektron na de wisselwerking (situatie 2) aan de energie van het foton vóór de wisselwerking (situatie 1). Behoud van energie zegt ons op zijn beurt dat

$E_{e,1} + E_{\gamma,1} = E_{e,2}$

Het foton is immers verdwenen, dus $E_{\gamma,2} = 0$ . We kunnen dit kwadrateren en aan de rechterkant Einsteins energierelatie gebruiken:

$(E_{e,1} + {E_\gamma,1})^2 =(p_{e,2})^2 c^2 + m^2 c^4$

Kwadraat uitwerken en zowel impulsbehoud $p_{e,2} =p_{\gamma,1} =E_{\gamma,1}/c$ als $E_{e,1} = mc^2$ invullen geeft

$(m c^2)^2 + (E_{\gamma,1})^2 + 2(mc^2) \cdot E_{\gamma,1} = (E_{\gamma,1})^2 +m^2 c^4$

Oftewel

$(E_{\gamma,1})^2 + 2(mc^2) \cdot E_{\gamma,1} = (E_{\gamma,1})^2$

Oftewel oftewel:

$2(mc^2) \cdot E_{\gamma,1}=0$

We weten dat het elektron een massa heeft, dus energie- en impulsbehoud schrijft voor dat $E_{\gamma, 1} = 0$ : het foton kan geen energie hebben. Oftewel: het proces waarbij een vrij elektron alle energie van het foton absorbeert is verboden. Om dezelfde reden zul je bijvoorbeeld geen paarproductie (waarin een foton naar een elektron en positron gaat) in het vacuüm tegenkomen: ook daar kun je niet zowel aan energie- als impulsbehoud voldoen. Ook kan een elektron in het vacuüm niet één enkel foton uitzenden (het tegenovergestelde proces als hierboven).

Dan de vraag waarom bij het foto-elektrisch effect of bij een absorptiespectrum (de energie van) het foton wél volledig wordt geabsorbeerd. Wel, daar is het elektron niet meer vrij, maar is het gebonden in een rooster of atoomkern van een gas. En dan zie je dat de berekening hierboven verandert: er komen extra deeltjes (of kernen) bij die ook energie en/of impuls kunnen opnemen. En als je de berekening vervolgens opnieuw naloopt zul je zien dat het foton nu wel volledig geabsorbeerd kan worden.

De clou? Als je je de volgende keer afvraagt waarom een proces niet voorkomt in de natuur, pas dan een bewijs uit het ongerijmde toe met behoudswetten. Nomnomnom.

Geplaatst

30 november 2023

Natuur- en wiskunde

door

admin

Tags:

Reacties

2 reacties op “De fotonische vraatzucht van elektronen”

Bart de Graaf

30 november 2023

Beste Roel,
Dank je voor je vrolijk geschreven verdieping! Interessant om de insteek van behoudswetten te kiezen.
Ik heb echter twee vragen/opmerkingen:
1. Compton-scattering gaat over vrije eektronen dan wel elektronen die zeer los gebonden zijn en daarmee daadwerkelijk kinetische energie kunnen opnemen van het foton. Bovendien kan een vrij elektron élke waarde van energie absorberen.
Gebonden elektronen daarentegen kunnen slechts in discrete energie-niveau’s bestaan, dus niet elke energie opnemen; enkel die van de beschikbare niveau-verschillen. Dat is volgens mij één belangrijk verschil: wel of geen discrete energie-niveau’s.
2. Maar nog belangrijker is dat bij gebonden elektronen, niet het elektron maar het hele atoom de foton-energie opneemt. Die energie slaat het atoom intern op door het elektron naar een hogere ‘schil’ te brengen. Men spreekt dan ook over de energieniveaus van het waterstof-atoom, niet van het elektron. Jouw behoudswet heeft mij dan wel weer doen realiseren dat dus het atoom de impuls van het inkomend foton moet opnemen. Wat bij mij weer de vraag oproept of het atoom dat zomaar kan, want ook het atoom is gebonden, en wel in een rooster. Ook daar zouden dus enkel slechts specifieke trillingen mogelijk zijn (die van de harmonische oscillator).
En als het atoom dan de impuls van het foton overneemt, moet het gaan bewegen (of harder gaan bewegen). Dus krijgt het een deel van de foton-energie; maar in dat geval past de foton-energie weer niet bij de elektron-overgangen van het atoom. En waarom kan een vrij atoom (als in een edelgas) wél een héél foton absorberen, en een vrij elektron niet?

Kortom, helemaal duidelijk is het me nog niet.

Groet!
Bart de Graaf

Beantwoorden
admin

2 december 2023

Ha Bart,

die nuance (“het vrije elektron neemt de energie op” v.s. “het atoom neemt de energie op waardoor het elektron wordt aangeslagen”) is inderdaad erg belangrijk. Het is vergelijkbaar met hoe studenten soms in de war kunnen raken als je ze vraagt waarom impuls niet behouden is in (de riching van) een zwaartekrachtsveld 😉

In hoeverre de energieniveau’s van de atoomkernen zijn gekwantiseerd vanwege de roosterbindingen is weer een schitterende vraag. Wat meespeelt is hier denk ik het feit dat je in een rooster in de regel te maken hebt met nogal wat wisselwerkingen, waardoor je analoog aan elektronen in een materiaal zogenaamde “energiebanden” krijgt. Mijn intuïtie zegt dus dat de energieniveau’s van de atomen en welke energieën ze kunnen absorberen ook gekwantiseerd zullen zijn, maar niet zo discreet als afzonderlijke elektronen in, zeg, een waterstofatoom. Daarvoor zou ik echter een boek vastestoffysica moeten induiken, want hier ben ik helemaal niet zo thuis in.

Beantwoorden

De fotonische vraatzucht van elektronen

Reacties

2 reacties op “De fotonische vraatzucht van elektronen”

Geef een reactie Reactie annuleren