Paw Patrol: pups go through the wormhole!

Mijn dochter van drie kreeg van Sinterklaas een magnetisch tekenbord van Paw Patrol. En ze heeft talent, want vanochtend tekende ze zowaar de embedding van een wormgat in de analytische extensie van een Schwarzschild zwart gat. Iedereen die de film “Interstellar” heeft gekeken weet dat wormgaten bestaan. In de films, welteverstaan. Maar bestaan ze ook buiten het filmdoek? Hoe kon Einstein de basis leggen voor wormgaten zonder dat hij in zwarte gaten geloofde? En was er onlangs niet een wormgat met een kwantumcomputer gemaakt? In deze blogpost duiken we het wormgat in!

Zwarte gaten

Einsteins zwaartekrachtstheorie, waarin zwaartekracht wordt beschreven als gekromde ruimtetijd, bevatten zwarte gaten als oplossing: objecten waarbij de massa in één punt is samengebald tot de zogenaamde “singulariteit” die een zogenaamde “waarnemershorizon” om zich heen werpen. Deze horizon is een “point of no return”: als je voorbij deze horizon vliegt, dan kun je zelfs met de allergrootste wilskracht niet rechtsomkeert maken en ontsnappen aan je lot: eindigen in de singulariteit.

Lange tijd werd getwijfeld aan het daadwerkelijke bestaan van zwarte gaten. Ook Einstein bedacht meerdere argumenten waarom de natuur het bestaan van dit soort idiote objecten zou verbieden. Maar jammer voor Einstein (en vele anderen met hem, zoals Arthur Eddington): zwarte gaten bestaan wel degelijk. Ze zijn indirect gemeten door hun zwaartekracht en afmeting te meten, en door het team van Heino Falcke zelfs in 2019 expliciet “op de foto gezet”. Vrijwel geen enkele natuurkundige twijfelt meer aan hun bestaan.

Oorlog, faam en zwaartekracht

Vlak na Einsteins publicatie in 1916 kwam Karl Schwarzschild aan het front van de Eerste Wereldoorlog met de allereerste oplossing van Einsteins hels ingewikkelde zwaartekrachtsvergelijkingen. Schwarzschild kon die oplossing vinden vanwege de hoge mate van symmetrie. Zijn oplossing beschrijft namelijk de ruimtetijdkromming (“zwaartekrachtsveld”) buiten een niet-draaiend, eeuwig bestaand bolsymmetrisch voorwerp. Ook de Nederlander Johannes Droste kwam met deze oplossing, maar bij gebrek aan heroïsche inzet als officier (Nederland was neutraal in de Eerste Wereldoorlog) en de juiste contacten werd Schwarzschilds naam vereeuwigd en die van Droste niet. Pas decennia later werd Schwarzschilds oplossing ook algemeen erkend als die van het simpelste zwarte gat dat kan bestaan.

Maar er is iets geks aan de hand met Schwarzschild zijn oplossing. Zijn oplossing beschrijft hoe je hoeken en afstanden opmeet in de gekromde ruimtetijd rond het zwarte gat (of buiten een bolvormige massa). Maar op de waarnemershorizon krijgt zijn oplossing kuren. Dit heeft te maken met het eigenaardige feit dat een waarnemer buiten het zwarte gat iets naar binnen gooit zal zien dat dit voorwerp nooit voorbij de horizon komt! De tijd staat er volgens hem stil. De coördinaten van Schwarzschild zijn daarom alleen geschikt voor gebeurtenissen buiten de horizon. Maar als je met het voorwerp meereist is er niks aan de hand. Dat suggereert dat je de coördinaten kunt uitbreiden zodat je ook binnen de horizon gebeurtenissen kunt labelen. Dat kan, en dat levert een uitbreiding van Schwarzschilds oplossing op. Dezelfde meetkunde, maar dan met meer ruimtetijd die je kunt beschrijven.

Deze pup gaat Flammen!

Maar in datzelfde jaar 1916 merkte Ludwig Flamm op dat Schwarzschilds oplossing nog meer beperkingen kent in de coördinaten. Want zijn oplossing lijkt alsof je Nederland slechts voor de helft met een landkaart bedekt. Flamm merkte op dat er nóg een helft bestaat. Einstein en zijn collega Nathan Rosen herontdekten dit resultaat in 1935 toen ze hun beroemde “Einstein-Rosen bruggen” introduceerden. Het wormgat was geboren! Alleen: Einstein geloofde toen niet in het bestaan van zwarte gaten. Hoe is dat mogelijk?

Het abstract van hun artikel zie je hierboven en het idee achter dit artikel is ruwweg als volgt. Puntdeeltjes vormen in de natuurkunde een wiskundig probleem. Als iets geen afmetingen heeft, dan is de massa- en ladingsdichtheid namelijk overal nul, behalve in dat ene punt waar het deeltje zit. Wiskundig betekent dit dat de dichtheid, massa (of lading) per volume, “oneindig groot” is. Want het volume dat het puntdeeltje inneemt is immers nul, en iets delen door nul neigt naar oneindig (“flauwekul”, zoals je wiskundedocent zal zeggen).  Einstein wou daarom, in zijn zoektocht naar een “theorie van alles”, de singulariteiten die puntdeeltjes in de kwantummechanica veroorzaken verwijderen. En dat probeerde hij door deze deeltjes te herinterpreteren als de “bruggen” die hij en Rosen vonden in hun artikel. Deeltjes als deel van de ruimtetijdmeetkunde, dus! Overigens meende Einstein dat de oplossing van Schwarzschild alleen zinvol was op de horizon en daarbuiten, omdat hij niet bekend was met de uitgebreide coördinaten die ik eerder noemde. De hypothese van Einstein en Rosen had allerlei wiskundige problemen, die je kunt nalezen in het artikel “Unveiling the Connection: ER Bridges and EPR in Einstein’s Research” van Galina Weinstein (https://arxiv.org/abs/2307.05548).

Ontwormen

Het zou daarna nog een paar decennia duren voordat zwarte gaten deel uit gingen maken van het standaard woordenboek van natuurkundigen: de term werd als eerste in het artikel “Black holes in space” gebruikt van Ann Ewing uit 1964. In de jaren daarna kwamen wormgaten ook weer voorzichtig op het toneel. Zo had Flamm de aanzet voor de Schwarzschildoplossing gegeven tot iets wat we nu een analytische voortzetting noemen. Daarmee breid je het domein uit waarop een functie, of in dit geval stuk meetkunde, geldig is. In deze analytische voortzetting blijkt de Schwarzschildoplossing naast een zwart gat ook een wit gat te bevatten dat juist zaken afstoot. Het bestaan van zo’n bizar fenomeen kun je begrijpen als je weet dat de Einsteinvergelijkingen voor het zwaartekrachtsveld tijdsymmetrisch zijn. Als je bijvoorbeeld de baan van een voetbal wilt beschrijven van punt A naar B met Newtons 2^e wet, dan is dit een oplossing van de onderliggende vergelijking (“F is m maal a”). Maar deze vergelijking is symmetrisch onder het omdraaien van de tijdsrichting. Dus de baan van B naar A moet óók een oplossing zijn en is daarmee ook toegestaan volgens Newtons wetboek. Hetzelfde geldt voor de Einsteinvergelijkingen: als zwarte gaten mogelijk zijn, dan laat de theorie ook witte gaten toe. De ruimtetijd die je zo krijgt zie je in de figuur hieronder.

Dit diagram noemen we een “Penrose diagram”. Er zit een heel stuk wiskunde achter, maar het idee is om op hoekgetrouwe wijze een oneindig groot stuk ruimtetijd op een eindig stukje af te beelden. Hoekgetrouw, want dan is de hoek tussen twee lichtstralen in tegengestelde richting altijd negentig graden. Met dit soort diagrammen kun je na wat oefening in één oogopslag zien wat een zwart gat doet met alles dat zich door de ruimtetijd baant. Superhandig dus! Als je de details van deze diagrammen wilt begrijpen zonder wiskunde, dan kun je deze site van John Norton raadplegen:

https://sites.pitt.edu/~jdnorton/teaching/HPS_0410/chapters/black_holes_picture/index.html

Voor ons is het belangrijk om te begrijpen wat er rond het midden van dit diagram zit. Dat blijkt een zogenaamd “wormgat” te zijn: een soort slurf tussen het universum en het “parallelle universum” zoals je ook op het Paw Patrol tekenbord helemaal boven ziet. Het “punt” in dit diagram is eigenlijk een tweedimensionale bol, omdat we de beide hoeken in het diagram niet afdrukken (de drie ruimtelijke coördinaten zijn een straal en twee hoeken vanwege de bolsymmetrie van de oplossing). Het wormgat vormt een ruimtelijke verbinding tussen de twee universa die we bij gebrek aan beter afbeelden in een hogerdimensionale embedding. Op het tekenbord zie je bijvoorbeeld een (poging tot een) afbeelding van een tweedimensionaal oppervlak (onze ruimtetijd) in een driedimensionale embedding. Maar het wormgat blijkt niet statisch te zijn in de tijd: precies in het midden van het diagram is het moment waarop de slurf de maximale “grootte” heeft. Daarna wordt de slurf afgeknepen. Een waarnemer die rond het wormgat cirkelt kan nooit “door” het wormgat gaan vanwege dit afknijpen. Wat wel mogelijk is, is dat een waarnemer in het “universum” van het diagram en een waarnemer van het “parallelle universum” uiteindelijk samenkomen binnen in de horizon van het zwarte gat. Iemand die via het universum binnen in de horizon valt kan zelfs lichtsignalen ontvangen vanuit het parallelle universum! Vlak voordat hij zijn dood tegemoet stort in de singulariteit kan hij dus nog even een sneak preview krijgen van het andere universum. Stel je voor hoe bizar dit allemaal is met een voorbeeld: een zwart gat met een paar aardmassa’s. Dit zwarte gat heeft een horizon van een paar centimeter en zou, de enorm hoge getijdekrachten daargelaten, in je hand passen. In je hand zou dan een oneindig groot universum huizen! Aldus de hamvraag: bestaan wormgaten en hun parallelle universa dan ook écht?

Is this the real life?

Toen Dirac zijn relativistische vergelijking voor het elektron opschreef, voorspelde zijn theorie ook “antideeltjes”. Na veel schroom en twijfel gaf Dirac toe, en werden deze antideeltjes inderdaad gevonden! “Dus”, zou de optimistische sci-fi liefhebber zeggen, “zet al  je bezwaren opzij en omarm de kosmologische snelwegen die Einstein voorspelt!” Het probleem hierbij is echter dat de oplossing van Schwarzschild nogal gekunsteld is: het beschrijft een eeuwig zwart gat. We weten echter dat zwarte gaten ontstaan vanuit instortende sterren. Dit proces kunnen we ook beschrijven, en dankzij Robert Oppenheimer en Hartland Snyder, en Roger Penrose drie decennia na hen, weten we dat dit soort processen met genoeg massa inderdaad zwarte gaten opleveren. Maar zo’n beschrijving bestaat niet voor wormgaten. We kennen geen oplossingen waarbij zwarte gaten ontstaan inclusief wormgaten. Bovendien is het wormgat in de Schwarzschildoplossing onbereikbaar: er bestaan geen “tijdachtige wereldlijnen” (paden in de ruimtetijd die worden afgelegd door massieve deeltjes) die door het wormgat kunnen gaan voordat het wordt “afgeknepen”. Complexere zwarte gaten zoals draaiende zwarte gaten met elektrische lading (Kerr en Kerr-Newman oplossingen) bevatten ook wormgaten, maar die hebben ook weer allerlei problemen. Zo heb je hele exotische omstandigheden nodig om het wormgat stabiel te houden. Dit allemaal zijn de redenen waarom veel natuurkundigen sterk twijfelen aan het feitelijke bestaan van wormgaten.

Quantumqubitwormgatholografie!!!!?

Maar was er onlangs geen wormgat in een kwantumcomputer gemaakt, zoals door Maria Spiropulu en collega’s in het artikel “Traversable wormhole dynamics on a quantum processor” in het tijdschrift Nature werd geclaimd? Diverse media sprongen hier bovenop zoals het (overigens verder uitstekende) Quanta Magazine met sensationele claims. Wat er heel (héél) erg kort door de bocht in dat artikel werd geclaimd, was dat de onderzoekers een bepaalde toestand van quantumbits hadden gerealizeerd die via het zogenaamde holografische principe gelijk zou moeten zijn aan een wormgat. Het holografische principe is een buitengewoon nietvanzelfsprekende brug (geen wormgat) tussen kwantumtheorieën met zwaartekracht en kwantumtheorieën zonder zwaartekracht.

Het bekendste voorbeeld hiervan is de zogenaamde AdS/CFT correspondentie, wat een snaartheorie op een zogenaamde “Anti deSitter ruimtetijd” één op één vertaalt naar een kwantumtheorie waarin alle deeltjes massaloos zijn en bovendien een exotische symmetrie genaamd “supersymmetrie” bezitten. Inderdaad, exotisch en hypothetisch. Het artikel gebruikte hiervoor een versimpeld model dat door Subir Sachdev, Jinwu Ye en Alexei Kitaev is bedacht en bekend staat onder de afkorting SKY-model.

De technische details hiervan vergen heel wat uurtjes studie en doen er hier niet toe. Wat er wel toedoet is dat, los van de daadwerkelijke inhoud van het onderzoek, hier helaas vooral sprake was van een stevig staaltje sensatiezucht door de populairwetenschappelijke pers.

Een brug te ver?

Samengevat: zwarte gaten bestaan. Wormgaten bestaan waarschijnlijk niet. Dat is jammer, want ze zijn supertof en bovendien superhandig: denk maar aan hoe Cooper de wereld redt met behulp van het wormgat bij het zwarte gat Gargantua. Als hij nou ook nog de wetenschapscommunicatie zou kunnen behoeden voor sensatiezucht die het vertrouwen in de wetenschap ondermijnt, dan zou hij helemaal mijn held zijn. Maar dat is waarschijnlijk een brug te ver.